Кинематические уравнения движения
Кинематические уравнения движения используются, чтобы описать перемещение объекта в пространстве. Так как при поступательном движении все точки объекта движутся одинаково, то его удобно представлять материальной точкой: она имеет определенную массу, однако её размерами можно пренебречь. Чтобы количественно описать движение точки, нужно ввести временную и пространственные координаты. При поступательном движении удобней всего пользоваться декартовой системой координат.
Положение такой точки в пространстве описывается радиус-вектором:
Можно спроектировать его на оси координат, тогда получим систему скалярных уравнений. Эти уравнения и называют кинематическими уравнениями движения:
Характеристики кинематического уравнения движения
Длина пути точки, пройденного ею с начального момента до момента t, обозначается 
и является скалярной величиной. Если движение прямолинейное, то вектор перемещения 
, соединяющий начальное и конечное положение точки, совпадает с путем точки, 
. Если же движение криволинейное, 
обычно находят с помощью геометрических построений.
Длина пути, пройденная точкой за конечное время t, может быть найдена с помощью формулы:
Здесь v – функция изменения скорости точки во времени, 
— начальная скорость, а – ускорение, t – время.
Если движение равномерное, то есть скорость остается неизменной, пройденный путь можно найти проще:
Скорость – величина векторная; она характеризует не только быстроту движения точки, но и направление этого движения. Она направлена так же, как и вектор перемещения. Средняя скорость может быть рассчитана:
Если интервал времени 
, вектор перемещения стремится к тому, чтобы совпадать с путем перемещения, и тогда может быть вычислена мгновенная скорость:
Ускорение точки (в векторном или скалярном виде) мы узнаем, взяв производную от скорости по времени:
Если движение криволинейно, ускорение можно разложить на две составляющие: тангенциальное ускорение 
и центростремительное ускорение 
:
где R – это радиус кривизны рассматриваемой траектории. Модуль ускорения, включающего обе компоненты, при криволинейном движении:
Если движение имеет прямолинейный характер, ускорение имеет только тангенциальную составляющую.
Примеры решения задач
| Задание | Задана материальная точка, которая перемещается вдоль оси абсцисс. Движение совершается по закону: х = 4 + 2t – 0,5t 3 . Для t = 2 c найдите координату этой точки, её мгновенные скорость и ускорение. |
| Решение | 1) Найдём координату точки, воспользовавшись уравнением движения: |
м.
2) Вычислим производную от уравнения движения и найдём мгновенную скорость точки:
3) Вычислим производную от уравнения скорости, чтобы найти мгновенное ускорение:
м, 
м/с, 
м/с 
| Задание | Материальная точка движется по оси Х. Пусть её движение совершается по закону: х = 5 + 4t – t 2 . Нужно построить график функций, отображающих зависимость пути s и координаты х от времени. Найдите среднюю скорость, а также среднюю скорость пути за отрезок времени от t1 = 1 c до t2 = 6 с. |
| Решение | Чтобы построить требуемый график, найдём начальную и самую большую из достигнутых координаты, после чего найдем моменты времени, соответствующие этим координатам, а также координате х = 0. |
В начальной координате объект находится в момент времени t = 0. Её значение:
х (t = 0) = 5 + 4t – t 2 = 5 + 4•0 – 0 2 = 5 м.
Из уравнения движения видим, что ускорение точки (заданное последним слагаемым) отрицательное. Значит, скорость уменьшается, и максимальная координата будет достигнута в тот момент, когда скорость начнёт менять знак. Найдём скорость как первую производную, взятую от уравнения движения, и приравняем ее к нулю:
Отсюда t = 2 c – момент, когда координата будет максимальной. Найдём эту координату:
х (t = 2) = 5 + 4t – t 2 = 5 + 4•2 – 2 2 = 9 м.
Найдём момент времени, когда координата х = 0:
х = 5 + 4t – t 2 = 0.
Решив это квадратное уравнение, получим корни: t1 = 5 c, t2 = -1 c. Последний результат отбрасываем, как нефизический.
Поскольку график, выражающий зависимость координаты от переменной времени, представляет собой кривую линию второго порядка, то в него входят пять разных коэффициентов. Поэтому найдём координаты еще для двух значений времени:
х (t = 1) = 5 + 4t – t 2 = 5 + 4•1 – 1 2 = 8 м.
х (t = 6) = 5 + 4t – t 2 = 5 + 4•6 – 6 2 = -7 м.
За этими данными мы можем начертить график для координаты. График пути строим за предыдущим графиком следующим образом:
1) До того, как скорость изменит свой знак, графики пути и координаты повторяют друг друга;
2) Начиная с момента, когда скорость изменит свой знак, путь возрастает по той же функции, по какой убывает координата.
Вычислим среднюю скорость за отрезок времени от t1 = 1 c до t2 = 6 с:
Чтобы найти среднюю путевую скорость, найдём путь, пройденный точкой за интервал времени от t1 = 1 c до t2 = 6 с. Этот путь складывается из двух отрезков пути – до и после перемены знака скорости:
Источник статьи: http://ru.solverbook.com/spravochnik/uravneniya-po-fizike/kinematicheskie-uravneniya-dvizheniya/
Уравнение движения автомобиля
Уравнение движения автомобиля выражает связь между движущими силами и силами сопротивления движению и позволяет определить режим движения автомобиля в любой момент.
Для вывода уравнения движения используется схема движения автомобиля на подъем и рассматривается разгон автомобиля на подъеме (рис. 4.1).
Рисунок 4.1 – Схема сил, действующих на автомобиль на подъеме
Проекция всех сил, действующие на автомобиль на поверхность дороги:
 | (4.1) |
Подставим в формулу (4.1) касательные реакции дороги Rх1 и Rх2, объединим члены с коэффициентом сопротивления качению f и члены с ускорением j и, принимая во внимание соотношения f (Rzl + Rz2) = Pк. При этом учтем, что jk1 + jk2 = jk ,а также принимая во внимание коэффициент учета вращающихся масс, получим уравнение движения автомобиля в общем виде: 
.
Принимая во внимание, что силы сопротивления качению Рк и подъему Рп в совокупности представляют силу сопротивления дороги Рд, получим:
 | (4.2) |
При установившемся (равномерном) движении, когда нет разгона и Ри = 0:
 | (4.3) |
Из уравнения (4.3) следует, что безостановочное движение автомобиля возможно только при условии:
 | (4.4) |
Данное неравенство связывает конструктивные параметры автомобиля с эксплуатационными факторами, обусловливающими сопротивление движению, и не гарантирует отсутствия буксования ведущих колес. Безостановочное движение автомобиля без буксования ведущих колес возможно лишь при соблюдении условия:
 | (4.5) |
Условие равномерного движения при отсутствии буксования ведущих колес записывается в виде:
 | (4.6) |
| | | следующая лекция ==> | |
| Сила и мощность сопротивления разгону | | | Силовой баланс автомобиля |
Дата добавления: 2017-06-02 ; просмотров: 2269 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Источник статьи: http://helpiks.org/9-18882.html
Кинематические уравнения движения
ВВЕДЕНИЕ
Основная задача физики – это установление устойчивых связей между физическими величинами, измеренных с помощью приборов в принятых единицах.
Для построения системы физических единиц произвольно выбирают единицы для нескольких не зависящих друг от друга физических величин. Эти единицы называются основными. Остальные же величины и их единицы выводятся из законов, связывающих эти величины и их единицы с основными. Они называются производными.
Мы будем использовать систему физических единиц интернациональную (система СИ).
В СИ выбраны семь величин (длина, масса, время, сила тока, температура, количество вещества, сила света) и для них установлены основные единицы измерения физических величин: метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела.
В механике мы будем использовать пять основных единиц:
Масса — килограмм (кг) — масса, равная массе международного прототипа килограмма (платиноиридиевого цилиндра, хранящегося в Международном бюро мер и весов в Севре, близ Парижа).
Длина пути — метр (м) — длина пути, проходимая светом в вакууме за 1/299792458 с.
Время — секунда (с) — время, равное 9.192 
10 9 периодам излучения, возникающего между уровнями основного состояния атомов Cs-133 .
Радиан (рад) — угол между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу.
Стерадиан (ср) — телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.
Пример производной единицы измерения скорости: из формулы равномерного прямолинейного движения V = s / t единица скорости получается равной 1 м/с (здесь V — скорость, s — пройденный путь, t — время).
Используемые в физике величины бывают двух видов:
Скаляр — величина, характеризуемая числовым значением (она может быть положительной и отрицательной).
Вектор — величина, характеризуемая как числовым значением (модуль вектора, положительное число), так и направлением.
МЕХАНИКА
Механика — раздел физики, изучающий закономерности механического движения.
Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного расположения тел или их частей.
Классическая механика (механика Ньютона) — изучает законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме (с ≈ 3 10 8 м/с).
Релятивистская механика — изучает законы движения макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света в вакууме.
Квантовая механика — изучает законы движения микроскопических тел (отдельных атомов, элементарных частиц)
Классическая механика делится на три раздела:
Кинематика — изучает движение тел, не рассматривая причины этого движения.
Динамика — изучает причины движения тел.
Статика — изучает законы равновесия системы тел.
КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Кинематика материальной точки
Материальная точка — тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.
Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно условно разбить на малые части, каждая из которых рассматривается как материальная точка, а изучение произвольной системы сводится к изучению системы материальных точек.
Кинематические уравнения движения
Движение тела происходит в пространстве и во времени.
Положение материальной точки определяется в система отсчета — совокупность системы координат и часов.
Мы будем использовать декартову систему координат, в которой положение точки в данный момент времени задается тремя координатами x, y, z или радиусом-вектором 
, проведенным из начала системы координат в данную точку (см. рис. 1).
При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются и ее движение определяется либо скалярными кинематическими уравнениями движения
либо векторными кинематическим уравнением движения 
.
Исключая в этих уравнений время, получим уравнение траектории — линии, описываемой материальной точкой в пространстве.
В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.
Плоская траектория – если она располагается в одной плоскости.
Мы будем рассматривать только плоские траектории.
Длина пути s – это длина участка траектории, пройденного материальной точкой с момента начала движения (на рис. 2 она показана пунктиром), она является скалярной функцией времени s(t).
ds – бесконечно малый путь. Единица измерения пути [s, ds] = [м].
Перемещение 
— это вектор, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени.
Модуль перемещения: | | = r, dr – бесконечно малое перемещение.
Единица измерения перемещения [r, dr] = [м]
При прямолинейном движении модуль перемещения r равен пройденному пути s.
1.2. Скорость
Скорость 
— это векторная величина,характеризующая как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени.
Мгновенная скорость (скорость в данный момент времени) 
и вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения (для прямолинейного движения вектора и сонаправлены).
Модуль мгновенной скорости 
. Единица измерения скорости [V] = [м/с].
Для равномерного движения (V = const) V = s/t, где s – путь, пройденный за время t.
При неравномерном движении вводится скалярная величина — средняя скорость = Ds/Dt, где 
– длина пути, пройденного материальной точкой за время 
, si – длина пути, пройденного материальной точкой за время t i
Правило сложения скоростей: если система отсчета 1, в которой движется тело с постоянной скоростью V1, сама движется относительно системы отсчета 2 со скоростью V2, то скорость тела относительно системы отсчета 2 равна векторной сумме векторов V1 и V2.
Ускорение
Ускорение 
— векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению. Мгновенное ускорение 
.
При ускоренном прямолинейном движении вектора скорости и ускорения сонаправлены, при замедленном прямолинейном движении эти вектора противонаправлены.
При криволинейном движении точки вектор ускорения отклонен от касательной к траектории в сторону ее вогнутости: при ускоренном движении угол между векторами скорости и ускорения острый, а при замедленном движении – тупой (рис. 3).
Модуль ускорения 
, единица измерения [a] = [м/с 2 ].
Для равноускоренного движения: 
,
где Vо и V – скорости в начальный и конечный момент движения, t – время движения.
Для плоской траектории можно выделить два направления – касательную к траектории (орт 
) и главную нормаль (орт 
). Тогда вектор можно разложить на два вектора, направленных вдоль этих направлений:
Вектор 
называется тангенциальным (касательным) ускорением, он направлена по касательной к траектории (как и скорость) и характеризует быстроту изменения скорости по модулю. При ускоренном движении вектор сонаправлен с вектором скорости, а при замедленном движении эти векторы противонаправлены (рис. 4).
Вектор 
называется нормальным (центростремительным) ускорением, он направлена по нормали к траектории к центру кривизны траектории и характеризует быстроту изменения скорости по направлению 
, здесь r – радиус кривизны траектории (если траектория окружность, то r – радиус окружности). Естественно 
.
Правило сложения ускорений
Если тело движется с постоянным ускорением а1 в системе отсчета 1, а система 1 движется с постоянной скоростью относительно системы 2, то ускорение тела относительно системы отсчета 2 равна а1.
Виды движения
В зависимости от величин a t и an может быть девять видов движения.
Наиболее важные виды движения:
1.4.1. Прямолинейное равномерное движение: a t = 0, an = 0,
кинематическое уравнение движения s = Vt, V = s / t
s – путь, пройденный за время t.
1.4.2. Прямолинейное равноускоренное (равнозамедленное) движение: a = const, an= 0, кинематические уравнения движения
V = V o ± at, 
здесь Vo — скорость в начальный момент времени, V – скорость в момент времени t, s – пройденный путь, t – время движения.
1.4.3. Равномерное движение по окружности: a t = 0, an = сonst
(хотя an = сonst, но направление вектора изменяется, т.е. это ускоренное движение).
Угловая скорость есть векторная величина, модуль которой 
(здесь d j — бесконечно малый угол поворота материальной точки за бесконечно малый промежуток времени dt).
Вектор 
направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта (рис. 5).
Единица измерения угловой скорости [ω] = [рад/с] .
Период вращения Т – время одного полного оборота.
Частота вращения ν – число оборотов за 1 секунду, единица измерения частоты [ν, ω] =[c -1 ] = [Гц].
Имеет место соотношения: 
.
Для равномерного движения по окружности w = const
и кинематическое уравнение j = wt.
1.4.4. Равноускоренное движение по окружности: a t = const, an = сonst;
Угловое ускорение − векторная величина, модуль которой 
,
причем вектор углового ускорения cонаправлен вектору угловой скорости при ускоренном движении и противонаправлен ему при замедленном движении (рис. 6).
Единица измерения [ε] = [рад/с 2 ].
Кинематические уравнения равнопеременного движения по окружности: ω = ωo ± εt, 
,
где wo — начальная угловая скорость.
Связь между линейными и угловыми величинами: 
1.5. Тело, брошенное под углом α к горизонту с начальной скоростью Vo [Для самостоятельной работы]
; 
, 
, 
в точке падения скорость тела равна по абсолютной величине скорости тела в точке бросания, а направление ее составляет тот же угол, что и в точке бросания (взятый с противоположным знаком);
время подъема (= времени падения) 
, 
,
, .
Тело, брошенное горизонтально, будет двигаться по одной из ветвей параболы с вершиной в точке бросания.
Дата добавления: 2019-02-26 ; просмотров: 1500 ; Мы поможем в написании вашей работы!
Источник статьи: http://studopedia.net/13_49916_kinematicheskie-uravneniya-dvizheniya.html